Duopolis (angl. Duopoly) kaip signalizavimo lošimas

Pirmiausia, pateiksime lošimą kaip signalizavimo lošimą.

Šiame signalizavimo lošime, Aloyzas (pirmasis rinkos dalyvis) turi privačios informacijos apie rinkos dydį, kuris gali būti \(8\) arba \(22\). Aloyzas stebi rinkos tipą ir eina pirmas (pasirenka \(q_{A}\)), taip siunčia signalą apie rinką Broniui. Bronius (antrasis rinkos dalyvis) stebi \(q_{A}\), bet tiesiogiai rinkos tipo \(M\) nežino ir turi jį nustatyti. Ribinės sąnaudos: \(d = c_{A} = c_{B} = 1\).

\(G_{s} = \left\{ \{A, B\}, T, P(\cdot), \left\{\mathcal{M}, \mathcal{A}\right\}, u(\cdot), v(\cdot) \right\}\)

1. Šio lošimo lošėjai: Aloyzas ir Bronius, t. y. lošėjų aibė \(\mathcal{N} = \left\{ A,B \right\}\).
   

2. Tipų erdvė \(T\): \(T = \left\{ M_{H}, M_{L} \right\}\),
   čia \(M_H = 22\) yra aukštos vertės rinka, o \(M_L = 8\) yra žemos vertės rinka.
   Tik Aloyzas žino tikrąjį rinkos tipą.

3. Tikimybių pasiskirstymas \(P(\cdot)\):
   Tikimybė, kad rinka yra aukštos vertės yra \(P(M_{H}) = p\), o žemos vertės \(P(M_{L}) = 1-p\)
   Šias tikimybes žino abu lošėjai.

4. Strategijos \(\gamma_{A}, \gamma_{B}\):
   Aloyzas pasirenka gamybos kiekį \(q_{A}\), priklausomai nuo rinkos tipo \(M_{i}\).
   \(\gamma_{A}: T \to \mathcal{M} = \Delta M\),
   Bronius, stebėdamas \(q_{A}\), pasirenka gamybos kiekį \(q_{B}\), stengdamasis maksimizuoti savo išlošį.
   \(\gamma_{B}: M \to \mathcal{A} = \Delta A\)
   Aloyzo veiksmai: \(M = \left\{ q_{A} \ge 0\right\}\), Aloyzas pasirenka savo gamybos kiekį \(q_{A}\).
   Broniaus veiksmai: \(A = \left\{ q_{B} \ge 0\right\}\), Bronius pasirenka savo gamybos kiekį \(q_{B}\), remdamasis Aloyzo signalu.

5. Informacija:
   Aloyzas žino rinkos tipą \(M_{i}\).
   Bronius stebi \(q_{A}\), bet ne \(M_{i}\). Bronius nestebi tipo, tačiau turi lūkesčius \(\mu(M_{i}|q_{A})\) apie rinkos tipą, remdamasis \(q_{A}\).

6. Išlošiai \(u(\cdot), v(\cdot)\). \(u,v: T \times M \times A \to \mathbb{R}\)
   Tuomet, \(\pi_{i} = P(Q)q_{i} - c_{i}q_{i}\), čia \(i = A,B\) ir \(c_{i} = 1\) (ribinės sąnaudos).
   Aloyzo išlošių funkcija:
   \(u(q_{A}, q_{B}, M) = P(Q)q_{A} - q_{A}\), čia \(P\left( Q \right) = \text{max}\left\{ M_{i}-Q,0 \right\}\), kai \(Q = q_{A}+q_{B}\)
   Broniaus išlošių funkcija:
   \(v(q_{A}, q_{B}, M) = P(Q)q_{B} - q_{B}\), čia \(P\left( Q \right) = \text{max}\left\{ M_{i}-Q,0 \right\}\), kai \(Q = q_{A}+q_{B}\)

Signalizavimo pusiausvyra (SigP)

Strateginis profilis \(\left( \gamma_{1}^{*}, \gamma_{2}^{*} \right)\) signalizavimo lošime \(G_{S}\) yra signalizavimo pusiausvyra (SigP), jei \(\exists \mu^{*} = \left\{ \mu^{*}\left( m \right) \right\}_{m\in \mathcal{M}}\):

• Pranešimai yra optimalūs \(\forall t\in T, \forall \nu\in \mathcal{M}\)
• 2 lošėjas nestebi tipo ir \(\forall m\in M, \forall \alpha\in \mathcal{A}\)
• Jei pranešimas \(m\) galimas, tada 2-ojo lošėjo lūkesčiai apie pirmojo lošėjo tipą stebint \(m\), turi būti apskaičiuojami pagal Bajeso taisyklę.
• Jei pranešimas \(m\) - neįmanomas, tada 2-ojo lošėjo lūkesčiai apie 1-ojo lošėjo tipą yra laisvai parenkami. Tai vadinama – silpnybė.

Atskiriamoji pusiausvyra

Kad rastume atskiriamąją pusiausvyrą, turime nustatyti \(q_{A} (8)\) ir \(q_{A} (22)\), kuriuos Aloyzas pasirinks kiekvienu rinkos atveju.

Primename, kad paklausos funkcija: \(P\left( Q \right) = \text{max}\left\{ M_{i}-Q,0 \right\}\), kai \(Q = q_{A}+q_{B}\)

Išlošių funkcijos:
Aloyzo išlošiai: \(\pi_{A} = P(Q) q_{A} - q_{A} = (M_{i} - q_{A} - q_{B})q_{A} - q_{A} = (M_{i} - q_{A} - q_{B} - 1)q_{A}\)
Broniaus išlošiai: \(\pi_{B} = P(Q) q_{B} - q_{A} = (M_{i} - q_{A} - q_{B})q_{B} - q_{B} = (M_{i} - q_{A} - q_{B} - 1)q_{B}\)

Spręsime atbuline indukcija.
Ieškome Broniaus geriausio atsako:
Bronius nežino \(M\), bet maksimizuoja savo išlošį \(\pi_{B}\):
\(\pi_{B} = P(Q) q_{B} - q_{A} = (M_{i} - q_{A} - q_{B})q_{B} - q_{B}\)

Skaičiuojama išvestinė pagal \(q_{B}\) ir prilyginama nuliui:
\(\frac{\partial \pi_{B}}{\partial q_{B}} = M_{i} - q_{A} - 2q_{B} - 1 = 0 \Rightarrow q_{B} = \frac{M_{i} - q_{A} - 1}{2}\)

Aloyzas turi pasirinkti \(q_{A}\) taip, kad Bronius galėtų atskirti rinkos tipus. Aloyzas siunčia skirtingus signalus (pranešimus):

• Jei \(M = 22\), Aloyzas pasirenka \(q_{A} (22)\)
  
• Jei \(M = 8\), Aloyzas pasirenka \(q_{A} (8)\)

Aloyzas numato geriausią Broniaus atsakymą \(q_{B} = \frac{M_{i} - q_{A} - 1}{2}\) ir maksimizuoja savo išlošį \(\pi_{A}\).
Įstatome \(q_{B}\) į \(\pi_{A}\):
\(\pi_{A} = (M_{i} - q_{A} - \frac{M_{i} - q_{A} - 1}{2})q_{A} - q_{A}\)

Suprastinus išraišką:
\(\pi_{A} = \left( \frac{M_{i} - q_{A} + 1}{2} \right)q_{A}-q_{A} = \frac{(M_{i} - q_{A} + 1)q_{A} - q_{A}}{2}\)

Skaičiuojama išvestinė pagal \(q_{A}\) ir prilyginama nuliui:
\(\frac{\partial \pi_{A}}{\partial q_{A}} = \frac{M_{i} - 2q_{A} + 1}{2} - 1 = 0\)

Gauname,
\(M_{i} - 2q_{A} + 1 = 2 \Rightarrow q_{A} = \frac{M_{i}-1}{2}\)

Atskiriamoji pusiausvyra:
Kai \(M_{i} = 22\): \(q_{A} = \frac{22-1}{2} = 10.5\)
Kai \(M_{i} = 8\): \(q_{A} = \frac{8-1}{2} = 3.5\)

Aloyzas pasirenka \(q_{A} = 10.5\), kai \(M = 22\) ir \(q_{A} = 3.5\), kai \(M = 8\).
Bronius stebi \(q_{A}\) ir taip atskiria rinkos tipą.

Apjungiamoji pusiausvyra

Atskiriamosios pusiausvyros priešingybė – apjungiamoji SigP (angl. pooling), siunčiamas tas pats signalas, todėl informacijos gavėjas negali jų atskirti remdamasis tik signalu.

Apjungiamoji pusiausvyra egzistuoti gali, jei:

• Aloyzas pasirenka tą patį \(q_{A}\) abiem atvejais, nepriklausomai nuo rinkos tipo (\(M_{i}\)).
• Bronius renkasi \(q_{B}\) remdamasis savo lūkesčiais apie \(M_{i}\).

Aloyzo išlošiai.

Jei Aloyzas pasirenka tą patį \(q_{A}\) nepriklausomai nuo \(M_{i}\), Broniaus geriausias atsakas remiasi jo lūkesčiais \(\mu(M_{i})\):
Tarkime, \(\mu(M_{i} = 22) = p\), o \(\mu(M_{i} = 8) = 1 - p\).

Tada, Broniaus tikėtinas geriausias atsakas: \(q_{B} = \frac{\mathbb{E}[M_{i}]-q_{A}-1}{2}\), kur \(\mathbb{E}[M_{i}] = 22p+8(1-p)\)

Apjungiamoji pusiausvyra egzistuos, jei Aloyzui bus naudinga rinktis tą patį \(q_{A}\) abiem atvejais, t. y. Aloyzas neturi paskatų nukrypti. Tai įmanoma, kai \(p\) yra tinkamas (pvz., p = 0.5).

Broniaus geriausias atsakas
Tarkime, kad Bronius mano, jog \(M_{i}\) yra galimų rinkos verčių vidurkis, t. y. Bronius tikisi vienodo rinkos tipų pasiskirstymo (\(p = 0.5\)), tuomet:
\(\mathbb{E}[M_{i}]=\frac{22+8}{2}=15\)

Atsižvelgiant į tai, Bronio paklausos funkcija:

\[ P(Q) = \max\{15 - Q, 0\}, \quad Q = q_A + q_B. \]

Bronius maksimizuoja savo išlošį:
\[ \pi_B = q_B \cdot P(Q) - q_B = q_B \cdot (15 - q_A - q_B) - q_B. \]

Išvestinė, siekiant maksimizuoti \(\pi_B\) pagal \(q_B\):
\[ \frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 15 - q_A - 2q_B - 1 = 0. \]

Išsprendus, gauname \(q_B\):
\[ q_B = \frac{14 - q_A}{2}. \]

Aloyzas numato Bronio atsaką ir pasirenka \(q_A\), kad maksimizuoti savo išlošį:
\[ \pi_A = q_A \cdot P(Q) - q_A = q_A \cdot (15 - q_A - q_B) - q_A. \]

Įrašome \(q_B = \frac{14 - q_A}{2}\) į \(Q = q_A + q_B\):
\[ Q = q_A + \frac{14 - q_A}{2} = \frac{q_A + 14}{2}. \]

Paklausos funkcija tampa:
\[ P(Q) = 15 - \frac{q_A + 14}{2} = \frac{16 - q_A}{2}. \]

Tada, Aloyzo išlošis:
\[ \pi_A = q_A \cdot \frac{16 - q_A}{2} - q_A = \frac{16q_A - q_A^2}{2} - q_A = -\frac{q_A^2}{2} + 7q_A. \]

Išvestinė, siekiant maksimizuoti \(\pi_A\):
\[ \frac{\partial R_A}{\partial q_A} = -q_A + 7 = 0. \Rightarrow q_A = 7 \]

Jeigu Aloyzas pasirenka \(q_A = 7\) abiejų rinkos tipų atveju (\(M_i = 22\) ir \(M_i = 8\)), todėl Bronius negali atskirti rinkos tipo ir optimaliai reaguoja:
\[ q_B = \frac{14 - q_A}{2} = \frac{14 - 7}{2} = 3.5. \]

Bendras gamybos kiekis:
\[ Q = q_A + q_B = 7 + 3.5 = 10.5. \]

Abiem rinkos tipų atvejais, kai \(p = 0.5\):
Apjungiamoji pusiausvyra galėtų būti:

\(q_{A} = 7\)
\(q_{B} = 3.5\)

Apjungiamajai pusiausvyrai apskaičiuoti daroma prielaida, kad Bronius tikisi vienodo rinkos tipų pasiskirstymo (\(p = 0.5\)), todėl tikėtina rinkos dydžio vertė tampa \(\mathbb{E}[M_i] = 15\). Dėl to \(q_A = 7\) pasirinkimas pateisina pusiausvyrą, nes tai užtikrina, kad Aloyzas ir Bronius maksimaliai optimizuoja savo išlošius (pelną). Jei \(p \neq 0.5\), Broniaus atsakas ir tikėtinas išlošis keistųsi, tačiau esant \(q_A = 7\), sąlygos vis dar tenkinamos.

Toliau pateikiamas R ir Python programinis kodas.

Nash pusiausvyros

Šiame lošime egzistuoja trys simetrinės Nash pusiausvyros \(X_{1} = (1, 0) = Y_{1}\), \(X_{2} = (0, 1) = Y_{2}\) ir viena Nash pusiausvyra mišriosiomis strategijomis \(X_{3} = \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) = Y_{3}\).

Tai atitinka atvejus, kai šalies gyventojai naudoja dolerius, visi gyventojai naudoja eurus arba, kai viena dalis gyventojų naudoja eurus, o kita dalis – dolerius.

game1 <- normal_form(
  players = c("A", "B"),
  s1 = c("USD", "EUR"), 
  s2 = c("USD", "EUR"), 
  payoffs1 = c(1, 0, 0, 1),
  payoffs2 = c(1, 0, 0, 1))

sol1 <- solve_nfg(game1, show_table = FALSE)

## Pure-strategy NE: [USD, USD], [EUR, EUR]

sol1_table <- sol1$table
sol1_table <- gsub("strategy", "Strategija", sol1_table)
sol1_table <- gsub("([0-9-]+)\\^", "<u>\\1</u>", sol1_table)
sol1_table <- gsub("<b>([0-9])</b>", "\\1", sol1_table) 

sol1_table

library(ggplot2)
custom_colors <- custom_colors <- c("#000076", "#0B0E0A")

sol1$br_plot +
  scale_color_manual(values = custom_colors)

import nashpy as nash
import numpy as np
from egttools import games

# Apibrėžiama matrica
payoff_matrix = np.array([[1, 0], [0, 1]])  # Simetrinė matrica

# Nash pusiausvyros paieška
game = nash.Game(payoff_matrix, payoff_matrix)
print("Nash pusiausvyros:")

## Nash pusiausvyros:

for eq in game.support_enumeration():
    print(f"A strategija: {eq[0]}, B strategija: {eq[1]}")

## A strategija: [1. 0.], B strategija: [1. 0.]
## A strategija: [0. 1.], B strategija: [0. 1.]
## A strategija: [0.5 0.5], B strategija: [0.5 0.5]

Evoliuciškai stabilios pusiausvyros (ESP)

Toliau, ieškosime, kurios iš Nash pusiausvyrų yra evoliuciškai stabilios pusiausvyros.

1. \(X_{1} = (1,0)\) (visi naudoja dolerius USD)
   Kai visi naudoja dolerius: \(u(1,1) = 1\) ir kai dalis populiacijos (x) bando pakeisti strategiją į eurus \(u(x,1) = x\). Išlošis x, nes tie, kurie dabar naudojasi eurais, negali atsiskaityti su tais, kurie naudoja dolerius.
   Taigi, \(u(1,1)>u(x,1), x \neq 1\), todėl \(X_{1}\) yra ESP.

2. \(X_{2} = (0,1)\) (visi naudoja eurus EUR)
   Turime, kad \(u(0,0) = 1\) ir \(u(x,0) = x\), taigi \(u(0,0)>u(x,0), x \neq 1\), todėl \(X_{2}\) yra ESP.

\(X_{1}\) ir \(X_{2}\) yra griežtoji (angl. strict) Nash pusiausvyra, todėl ir ESP.

ESP 2-oji savybė. Jei \((X^*, X^*)\) yra griežtoji Nash pusiausvyra, tada \(X^*\) yra ESP. Kadangi, \((x^*, x^*)\) yra griežtoji Nash pusiausvyra, tai \(u(x^*, x^*) > u(y, x^*)\) bet kuriam \(y \neq x^*\). Tada, bet kuriam pakankamai mažam \(p\), turėtume:

\[ p u(x^*, y) + (1 - p) u(x^*, x^*) > p u(y, y) + (1 - p) u(y, x^*), \] kai \(0 < p < p_y\), kur \(p_y > 0\)

3. \(X_{3} = u\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\) ir \(u\left(x,\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\)

Kai pusė populiacijos naudoja dolerius, o kita pusė eurus.
Taigi, \(u\left( x^{*}, x^{*} \right) = u\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}=u\left( x,x^{*} \right)=u\left( x,\frac{1}{2} \right)\) visiems \(x\neq x^{*} =\frac{1}{2}\)

Toliau tikriname:
\(u\left( x^{*}, x^{*} \right) = u\left( x,x^{*} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow u\left( x^{*},x = \frac{1}{2} \right) \gt u\left( x,x \right) = x^{2} + (1-x)^{2}\) visiems \(x\neq \frac{1}{2}\)

Bet yra daugybė \(x\) reikšmių, kurioms ši nelygybė negalioja. Pavyzdžiui, kai \(x = \frac{1}{4}\), tai \(\frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} \gt \frac{1}{2}\)

Vadinasi, Nash pusiausvyra \(X_{3}\) mišriosiomis strategijomis, kurioje lošėjas naudoja eurus ir dolerius su vienoda tikimybe, nėra evoliuciškai stabili pusiausvyra.

Atsiskaitymai vyks ta pačia valiuta, atsiskaitymams bus naudojami tik eurai, arba tik doleriai, o kita valiuta išnyks.

Žemiau pateikiamas R programinis kodas, norint patikrinti ar Nash pusiausvyros yra ESP. Naudojant EvoliutionaryGames paketą [1]:

library(EvolutionaryGames)
A <- matrix(c(1, 0, 0, 1), nrow=2, byrow=TRUE)
strategies <- c("USD", "EUR")
ESS(A, strategies)

##      USD EUR
## [1,]   1   0
## [2,]   0   1

Jei lošimas neturi evoliuciškai stabilios pusiausvyros, funkcija ESP() grąžina NULL reikšmę.

# Funkcija, skaičiuoti išlošius
calculate_payoff <- function(x, y) {
  payoff_matrix <- matrix(c(1,0,0,1), nrow=2, ncol=2)
  return(x[1]*y[1]*payoff_matrix[1,1] + x[1]*y[2]*payoff_matrix[1,2] + 
         x[2]*y[1]*payoff_matrix[2,1] + x[2]*y[2]*payoff_matrix[2,2])
}

# Funkcija, tikrinti ar yra ESP
check_ESS <- function(strategy) {
  x <- c(0.9, 0.1)
  
  # Išlošiai
  payoff_original <- calculate_payoff(strategy, strategy)
  payoff_alternative <- calculate_payoff(x, strategy)
  
  is_ESS <- payoff_original > payoff_alternative
  
  return(is_ESS)
}

# Apibrėžiamos Nash pusiausvyros
X1 <- c(1, 0)
X2 <- c(0, 1)
X3 <- c(0.5, 0.5)  # Mišri strategija

# Tikrinama, ar Nash pusiausvyra yra ESP
X1_ESS <- check_ESS(X1)
X2_ESS <- check_ESS(X2)
X3_ESS <- check_ESS(X3)

## X1 -> ESP: TRUE

## X2 -> ESP: TRUE

## X3 (mišrioji strategija) -> ESP: FALSE

Lošimo tipas ir savybės

Sąlygoje apibrėžtas lošimas yra:

• Baigtinis lošimas, kadangi yra ribotas skaičius galimų derinių (\(3 \times 2 = 6\));
  
• Pilnos informacijos lošimas – visi lošėjai žino visus galimus ėjimus ir jų pasekmes;
  
• Simetrinis lošimas – abu lošėjai turi vienodas galimybes pasiekti savo tikslus;
  
• Kooperatinis lošimas su transferabiliąja naudingumo funkcija (TU) – lošėjai gali bendradarbiauti siekdami optimalaus rezultato.

Lošimo tipas: Tai dviejų lošėjų kooperacinis lošimas su transferabiliąją nauda (TU), konkrečiai – pirštinių lošimas (angl. glove game). Lošime reikia papildomų elementų (kairiųjų ir dešiniųjų pirštinių), kurie kartu sukuria vertę.

Kooperatiniuose lošimuose (veiksmai daromi kartu) arba koalicinės formos (koalicija veikia kaip vienas lošėjas) veiksmai ir strategijos priimami kaip jungtiniai sprendimai, kai nekooperatiniuose lošimuose veiksmai, jų sekos yra daromi individualiais lošėjais.

Iš viso lošime yra 3 Hextech energijos generatoriai (kairiosios pirštinės) ir 2 Hextech stabilizatoriai (dešiniosios pirštinės), o kiekvienai kairiajai pirštinei gali būti priskirta bet kuri dešinioji pirštinė, todėl ne visi veikėjai gali pasidalinti po lygiai.

Kadangi resursai yra riboti, abi pusės (Piltover’io mokslininkai ir Zauno lyderiai) turi ieškoti kompromiso, susitarti dėl Hextech komponentų paskirstymo, pagrindinis tikslas yra sudaryti parnerystę, rasti bendrą sprendimą, kuris tenkintų abi Hextech puses.

Tegul \(\mathcal{N}\) sudaro pusės, dalyvaujančios derybose dėl Hextech naujų technologinių sprendimų: \(P\) – Piltover’io mokslininkai ir \(Z\) – Zauno lyderiai, t. y. \(\mathcal{N} = \left\{ P,Z \right\}\) yra lošėjų aibė.
Visos galimos koalicijos sudaro šios aibės poaibių aibę: \(2^{\mathcal{N}} = \left\{ \emptyset, \left\{ P \right\}, \left\{ Z \right\}, \left\{ P,Z \right\} \right\}\)

Tuomet, charakteringoji funkcija \(\nu(S)\), kuri kiekvienai koalicijai \(S\) nurodo maksimalų Hextech komponentų skaičių, kurį ta koalicija gali gauti, šiam lošimui apibrėžiama taip:

1. Kai \(S = \emptyset\), tai \(\nu(\emptyset) = 0\). Be bendradarbiavimo negalima sukurti veikiančio Hekstech įrenginio

2. Kai \(S = \left\{ P \right\}\) ir kai \(S = \left\{ Z \right\}\)

3. \(\nu( \left\{ P,Z \right\}) = 6\) (visi galimi deriniai) Ši reikšmė gaunama iš visų galimų produktyvių derinių skaičiaus (3 kairiosios × 2 dešiniosios = 6)

Charakteringosios funkcijos savybės:

1. Lošimas tenkina superadityvumą: \(\nu(\left\{ P,Z \right\}) \ge \nu(\left\{ P \right\}) + \nu(\left\{ Z \right\})\), t. y. \(6 \ge 0 + 0\)

2. \(\nu\) yra monotoninė: jei \(S \subseteq T\), tai \(\nu(S) \le \nu(T)\) Pavyzdžiui: \(\nu(\left\{ P \right\}) \le \nu(\left\{ P,Z \right\})\), t. y. \(0 \le 6\)

3. Nemažėjanti: pridėjus prijungus lošėją į koaliciją, jos vertė nesumažėja

4. Nulinė tuščiajai aibei: \(\nu(\emptyset) = 0\)

Tačiau, laikant, kad lošėjų aibę sudaro: Piltover’is (P) su 3 kairiosiomis pirštinėmis (energijos generatoriais) ir Zaun’as (Z) su 2 dešiniosiomis pirštinėmis (stabilizatoriais), lošimas apibrėžiamas taip:

• Lošėjai: Piltover’is (P) su 3 kairiosiomis pirštinėmis (energijos generatoriais) ir Zaun’as (Z) su 2 dešiniosiomis pirštinėmis (stabilizatoriais).
  Tuomet, charakteringoji funkcija (koalicijų vertės):
  • \(v(\emptyset) = 0\)
    
  • \(v(\{P\}) = 0\) (nėra stabilizatorių)
    
  • \(v(\{Z\}) = 0\) (nėra generatorių)
    
  • \(v(\{P, Z\}) = \min(3, 2) = 2\) (sukuriamos poros).
    
• Pagrindinės savybės:
  • Abu lošėjai yra būtini – nei vienas negali kurti vertės vienas.
    
  • Superadityvumas: \(v(\{P, Z\}) \geq v(\{P\}) + v(\{Z\})\), nes \(2 > 0 + 0\).

Šerdis

Lošimo \(\nu \in \mathcal{G}_{\mathcal{N}}\) šerdis (angl. core) yra visų dalybų \(x\) aibė \(C(\nu) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x(\mathcal{N}) = \nu(\mathcal{N}), \, x(S) \geq \nu(S), \, \forall S \subseteq \mathcal{N}, \, S \neq \emptyset \}\)

b) Šerdis:
Šerdis (stabilių išmokų aibė) – tai dalybų, išmokų \((x, y)\) pasiskirstymai, tenkinantys:
1. Individualų racionalumą: \(x \geq 0\), \(y \geq 0\).
2. Kolektyvinį racionalumą: \(x + y = v(\{P, Z\}) = 2\).
Taaigi, šerdis – tiesė \((x, 2 - x)\), kur \(0 \leq x \leq 2\). Visi išmokų pasiskirstymai (dalybos) stabilūs, nes nei vienas lošėjas negali gauti daugiau veikdamas vienas.

Shapley vertė

Shapley vertė yra vienas iš būdų paskirstyti visą pelną lošėjams, darant prielaidą, kad jie visi bendradarbiauja. \(\exists !\xi\) nusakyta koalicinių lošimų klasėje \(\mathcal{G}_{\mathcal{N}}\) tenkinanti S1-S4 aksiomas (vertė \(\xi\) yra efektyvioji, tenkina butaforinio lošėjo aksiomą, yra simetrinė ir adityvioji), \(\forall \nu\in \mathcal{G}_{\mathcal{N}}, \forall i\in \mathcal{N}\): \(\mathcal{Sh}_i(\nu) = \sum_{s=0}^{n-1} \frac{s!(n-s-1)!}{n!} \sum_{\mathcal{S} \subseteq \mathcal{N} \setminus \{i\}, |\mathcal{S}| = s} \big(\nu(\mathcal{S} \cup \{i\}) - \nu(\mathcal{S})\big)\)

c) Shapley vertė:
Shapley (teisingas padalijimas) vertė skaičiuojama pagal kiekvieno lošėjo vidutinį ribinį indėlį į visas koalicijas.

• Tuomet, kiekvieno lošėjo ribiniai indėliai:
  • Piltoverio indėlis: \(v(\{P, Z\}) - v(\{Z\}) = 2 - 0 = 2\).
    
  • Zauno indėlis: \(v(\{P, Z\}) - v(\{P\}) = 2 - 0 = 2\).
    
• Vidutinis indėlis: Kadangi yra du koalicijų variantai (P pirmas arba Z pirmas), kiekvieno lošėjo Shapley vertė:
  \[ \phi_P = \phi_Z = \frac{2 + 0}{2} = 1. \]
  Taigi, Shapley vertė = \((1, 1)\).

d) Ekko ir Džinks sukūrus papildomai 2 stabilizatorius (Zaunas turi 4 stabilizatorius):

• Nauja koalicijos vertė: \(v(\{P, Z\}) = \min(3, 4) = 3\).
  
• Atnaujinta charakteringoji funkcija:
  • \(v(\{P, Z\}) = 3\), likusios nepakito.
    
• Šerdis: Išmokos \((x, 3 - x)\), kur \(0 \leq x \leq 3\).
  
• Shapley vertė:
  • Piltoverio ribinis indėlis: \(3 - 0 = 3\).
    
  • Zauno ribinis indėlis: \(3 - 0 = 3\).
    
  • Vidutinis indėlis:
    \[ \phi_P = \phi_Z = \frac{3 + 0}{2} = 1.5. \]
    Taigi, sukūrus papildomai 2 stabilizatorius Shapley vertė = \((1.5, 1.5)\).

Toliau pateikiamas R programinis kodas, naudojant GameTheory biblioteką:

1) atvejis

1. Jei \(a \gt 0\) ir \(b \lt 0\):

Jei abu lošėjai (Vai ir Džinks) pasirenka strategiją \(\left( 1,0 \right)\), jų nauda yra \(a\) kuri yra teigiama. Jei lošėjas pakeistų savo strategiją į \(\left( 0,1 \right)\), jo nauda taptų \(0\), o tai yra blogiau nei \(a\).

Grynoji strategija \((1,0)\) (visada rinktis pirmą veiksmą) yra griežtoji Nash pusiausvyra, nes pirmas veiksmas duoda teigiamą naudą \(a\), o antrasis – \(0\).

2. Analogiškai, jei \(a \lt 0\) ir \(b \gt 0\) grynoji strategija \((0,1)\) yra griežtoji Nash pusiausvyra.

Pagal ESP 2-ąją savybę: Griežtoji Nash pusiausvyra yra evoliuciškai stabili pusiausvyra (ESP), todėl yra tiksliai viena ESP, priklausomai nuo \(a\) arba \(b\).

ESP 2-oji savybė. Jei \((X^*, X^*)\) yra griežtoji Nash pusiausvyra, tada \(X^*\) yra ESP. Kadangi, \((x^*, x^*)\) yra griežtoji Nash pusiausvyra, tai \(u(x^*, x^*) > u(y, x^*)\) bet kuriam \(y \neq x^*\). Tada, bet kuriam pakankamai mažam \(p\), turėtume:

\[ p u(x^*, y) + (1 - p) u(x^*, x^*) > p u(y, y) + (1 - p) u(y, x^*), \] kai \(0 < p < p_y\), kur \(p_y > 0\)

2) atvejis

1. Strategijos \(\left( 1,0 \right), \left( 0,1 \right)\):

• Abu lošėjai pasirenka \((1, 0)\), gaudami \(a\).
  Jei kuris nors lošėjas keistų strategiją į \((0, 1)\), jo nauda taptų \(0\), o tai yra mažiau nei \(a\). Todėl \((1, 0)\) yra griežtoji Nash’o pusiausvyra \(\to\) ESP.

• Analogiškai, kai abu lošėjai pasirenka \((0, 1)\), gauna \(b\). Pakeitus strategiją, jo nauda taptų \(0\), o tai yra mažiau nei \(b\). Todėl \((0, 1)\) yra griežtoji Nash’o pusiausvyra \(\to\) ESP.

2. Mišrioji strategija:

• Lošėjas pasirenka \((1, 0)\) su tikimybe \(p\) ir \((0, 1)\) su tikimybe \(1-p\). Abi pusės pasirenka šią strategiją, kad vidutinė nauda būtų vienoda abiem grynosioms strategijoms.
  Lyginame vidutinę naudą:

  • Jei lošėjas pasirenka \((1, 0)\), jo vidutinė nauda yra \(p \cdot a + (1-p) \cdot 0 = p \cdot a\).
  • Jei lošėjas pasirenka \((0, 1)\), jo vidutinė nauda yra \(p \cdot 0 + (1-p) \cdot b = (1-p) \cdot b\).

  Kad mišrioji strategija būtų Nash’o pusiausvyra, šios naudos turi būti lygios: \[ p \cdot a = (1-p) \cdot b \] Sprendžiame \(p\): \[ p = \frac{b}{a+b} \]

  Taigi mišrioji strategija yra: \[ s_3 = \left(\frac{b}{a+b}, \frac{a}{a+b}\right) \]

  Mišrioji strategija nėra ESP, nes grynoji strategija gali suteikti didesnę naudą, jei dauguma lošėjų naudoja mišrią strategiją.

  • Jei visi lošėjai naudoja mišrią strategiją \(X = (p, 1-p)\), mišrios strategijos vidutinė nauda yra: \[ E(X, X) = p^2 \cdot a + 2p(1-p) \cdot 0 + (1-p)^2 \cdot b = p^2 \cdot a + (1-p)^2 \cdot b. \]

  • Jei vienas lošėjas nukrypsta ir pasirenka grynąją strategiją \((1, 0)\), jo vidutinė nauda yra: \[ E(1, X) = p \cdot a + (1-p) \cdot 0 = p \cdot a. \]

  • Atliekamas palyginimas: \[ E(1, 1) = a > \frac{ab}{a+b} = E(X, 1). \] Grynoji strategija \((1, 0)\) suteikia didesnę naudą, kai visi kiti taip pat naudoja grynąją strategiją, palyginti su mišria strategija. Ši nelygybė visada teisinga, nes \(a > 0\) ir \(b > 0\).

3) atvejis

Jei dauguma lošėjų naudoja mišrią strategiją \(X = \left(\frac{b}{a+b}, \frac{a}{a+b}\right)\), jų vidutinė nauda yra:
\[ E(X, X) = \left(\frac{b}{a+b}\right)^2 \cdot a + \left(\frac{a}{a+b}\right)^2 \cdot b. \] Kadangi \(a < 0\) ir \(b < 0\), ši išraiška yra neigiama, bet ji yra didžiausia įmanoma nauda mišrioje strategijoje.

Jei lošėjas nukrypsta ir pasirenka grynąją strategiją \((1, 0)\), o dauguma lieka prie mišrios strategijos \(X\), jo nauda yra:
\[ E(1, X) = \frac{ab}{a+b}. \]
Panašiai, jei lošėjas pasirenka \((0, 1)\), jo nauda yra:
\[ E(0, X) = \frac{ab}{a+b}. \]
Abi šios reikšmės yra lygios mišrios strategijos \(X\) vidutinei naudai, todėl nukrypimas nuo mišrios strategijos neduoda jokio pranašumo.

1. Grynosios strategijos nėra ESP

Jei visi lošėjai pasirenka \((1, 0)\), jų vidutinė nauda yra:
\[ E(1, 1) = a. \]
Kadangi \(a < 0\), ši nauda yra mažesnė nei mišrios strategijos \(E(X, X)\).
Panašiai, jei visi pasirenka \((0, 1)\), jų nauda yra:
\[ E(0, 0) = b, \]
kuri taip pat yra mažesnė už \(E(X, X)\), nes \(b < 0\).

2. Mišrioji strategija \(X\) yra ESP

Kad mišrioji strategija \(X\) būtų ESP, turi galioti:
\[ E(X, Y) > E(Y, Y) \quad \text{visiems} \quad Y \neq X. \]
Jei lošėjas nukrypsta į strategiją \(Y = (y_1, y_2)\), jo vidutinė nauda yra:
\[ E(Y, Y) = a \cdot y_1^2 + b \cdot y_2^2. \]
Kadangi \(a < 0\) ir \(b < 0\), ši reikšmė visada bus mažesnė už \(E(X, X)\), nes mišrios strategijos derinys minimalizuoja nuostolius.